题目内容

在△ABC中，已知角A，B，C满足2B=A+C，且tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的两根，若△ABC的面积为 $数学公式$ ，试求△ABC的三边的长．

解：在△ABC中，
∵角A，B，C满足2B=A+C，∴B=60°，tanB= $\text{[math]}$ ．
∵tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的两根，
∴把tanB= $\text{[math]}$ 代入方程x²-λx+λ+1=0，
解得λ=2 $\text{[math]}$ ．由韦达定理有tanA•tanB=λ+1=2 $\text{[math]}$ ，
∴tanA= $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ ，
∴tanC=-tan（A+B）
=- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=1．
∴C=45°，A=75°．∴a：b：c=sin75°：sin60°：sin45°=（ $\text{[math]}$ ）：2 $\text{[math]}$ ：2 $\text{[math]}$ ．
设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵△ABC的面积为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
解得k=1，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：在△ABC中，由角A，B，C满足2B=A+C，知B=60°，tanB= $\text{[math]}$ ．由tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的两根，把tanB= $\text{[math]}$ 代入方程x²-λx+λ+1=0，解得λ=2 $\text{[math]}$ ．由韦达定理有tanA•tanB=2 $\text{[math]}$ ，知tanA=2+ $\text{[math]}$ ，tanC=-tan（A+B）=1．故C=45°，A=75°．由此利用若△ABC的面积为 $\text{[math]}$ ，能求出△ABC的三边的长．
点评：本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意三角形加法定理和正弦定理的灵活运用．