Question

设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B，C，经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，求证：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项．

Answer 1

分析：设设抛物线为y²=2px（p＞0），可求得|BC|=2p，设P（2pt²，2pt），则Q（2pt²，0），可求得|PQ|与|OQ|，从而可证得|BC|×|OQ|=|PQ|²．

解答：证明：设抛物线为y²=2px（p＞0）．则焦点F（

p

2

，0），
依题意，B，C的坐标可由

x= p 2 y2=2px(p＞0)

得：y²=p²，y=p或-p，
∴B（

p

2

，p），C（

p

2

，-p），|BC|=p-（-p）=2p；
设P（2pt²，2pt），则Q（2pt²，0），
∴|PQ|=|2pt|，|OQ|=2pt²
|BC|×|OQ|=2p×2pt²=4p²t²=（2pt）²=|PQ|²，
∴|PQ|是|BC|和|OQ|的等比中项．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查等比关系的确定，求得|BC|、|PQ|、|OQ|的值是关键，考查分析与推理证明的能力，属于中档题．