题目内容

已知向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（cosx，-cosx），设函数f（x）=
a
•（
a
+
b
）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-k，x∈[0，
π
2
]，其中k∈R，试讨论函数g（x）的零点个数．
（1）函数f（x）=
a
•（
a
+
b
）=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，0）
=sin2x+sinxcosx=
1-cos2x
2
+
1
2
sin2x=
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
．
所以函数的最小正周期为：π．
（2）因为函数 y=
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
，由 2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤
π
2
+2kπ   k∈Z，即 kπ-
3π
8
≤x≤
π
8
+kπ   k∈Z，
所以函数的单调增区间为：[-
3
8
π+kπ，
π
8
+kπ] (k∈Z)．
（3）y=
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
，x∈[0，
π
2
]，所以2x+
π
4
∈[
π
4
，
3π
4
]，
y=
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
∈[
3
2
，
1
2
+
2
]，
函数g（x）=f（x）-k=
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
-k，x∈[0，
π
2
]，其中k∈R，
当k＜
3
2
或k＞
1
2
+
2
时，零点为0个；
当k∈[
3
2
，
1
2
+
2
)时函数有两个零点，
当k=
1
2
+
2
时，函数有一个零点；
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（sinθ，-2），
b
=（cosθ，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ；
（2）当θ∈[-
π
12
，
π
3
]时，求f（θ）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|2的最值．
已知向量
a
=（sinθ，1），
b
=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求θ；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
1
5
，求tan(2θ+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ），
b
=（2，1），满足
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ）与
b
=（
3
，1），其中θ∈（0，
π
2
）
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(
a
+ 
b
)2，求f（θ）的值域．
已知向量
a
=（sinθ，
3
cosθ），
b
=（1，1）．
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若|
a
|=|
b
|，且0＜θ＜π，求角θ的大小．

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