题目内容
（1）
，a∈R，试讨论函数f（x）的单调性；（2）当x2＞x1＞0，求证：
．
【答案】分析：（1）求出
，然后分a≤0和0＜a＜1和a=1以及a＞1时四种情况，分别讨论导数的零点，可以得到单调性的四种不同情况；
（2）构造函数
，通过讨论h′（x）的单调性得出h′（x）在（0，+∞）上的最大值小于零，从而h′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此h（x）在（0，+∞）上单调递减．再根据0＜x1＜x2时，结合
h（x）单调减可得
．
解答：解：（1）
（x＞0）
∴①当a≤0时，f（x）在区间（0，1）上是增函数，在区间（1，+∞）是减函数；
②当0＜a＜1时，f（x）在区间（0，a）是增函数，在区间（a，1）是减函数，在区间（1，+∞）是增函数
③当a=1时，f（x）在区间（0，+∞）是增函数
④当a＞1时，f（x）在区间（0，1）是增函数，（1，a）是减函数，（a，+∞）是增函数------------------（6分）
（2）令
，由
，
又令
，∴
∴p（x）在[0，+∞）单调递减----------------------（8分）
∴当x＞0时，p（x）＜p（0）=0，
∴当x＞0时，h'（x）＜0
∴h（x）在（0，+∞）单调递减．------------（10分）
∴0＜x1＜x2时，有
，
∴x2ln（1+x1）＞x1ln（1+x2），
∴
-----（12分）
点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．
，然后分a≤0和0＜a＜1和a=1以及a＞1时四种情况，分别讨论导数的零点，可以得到单调性的四种不同情况；（2）构造函数
，通过讨论h′（x）的单调性得出h′（x）在（0，+∞）上的最大值小于零，从而h′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此h（x）在（0，+∞）上单调递减．再根据0＜x1＜x2时，结合h（x）单调减可得
．解答：解：（1）
（x＞0）∴①当a≤0时，f（x）在区间（0，1）上是增函数，在区间（1，+∞）是减函数；
②当0＜a＜1时，f（x）在区间（0，a）是增函数，在区间（a，1）是减函数，在区间（1，+∞）是增函数
③当a=1时，f（x）在区间（0，+∞）是增函数
④当a＞1时，f（x）在区间（0，1）是增函数，（1，a）是减函数，（a，+∞）是增函数------------------（6分）
（2）令
，由
，又令
，∴
∴p（x）在[0，+∞）单调递减----------------------（8分）
∴当x＞0时，p（x）＜p（0）=0，
∴当x＞0时，h'（x）＜0
∴h（x）在（0，+∞）单调递减．------------（10分）
∴0＜x1＜x2时，有
，∴x2ln（1+x1）＞x1ln（1+x2），
∴
-----（12分）点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．
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