Question

若函数f（x）=

log2x，x＞0 log 1 2 (-x)，x＜0

，若f（a）＜f（-a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-1，0）∪（1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：当a＞0时，-a＜0，f（a）=log₂a，f（-a）=log

1

2

a，解不等式f（a）＜f（-a）求得实数a的取值范围；
当a＜0 时，-a＞0，f（a）=log

1

2

( -a)，f（-a）=log₂（-a），由f（a）＜f（-a）求得实数a的取值范围；
再把a的取值范围取并集，即得所求．

解答：解：由函数f（x）的解析式可得，函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
当a＞0时，-a＜0，f（a）=log₂a，f（-a）=log

1

2

a，
由f（a）＜f（-a）得  log₂a＜log

1

2

a=log2

1

a

，∴a＜

1

a

，解得 1＞a＞0．
当a＜0 时，-a＞0，f（-a）=log

1

2

( -a)，f（a）=log₂（-a），
由f（a）＜f（-a）得 log

1

2

( -a)＜log₂（-a），即 log2(

1

-a

)＜log₂（-a），∴

1

-a

＜-a，解得 a＜-1．
综上得：0＜a＜1，或a＜-1，
故选B．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，分段函数的解析式的应用，属于中档题．