Question

【题目】已知函数， （其中， ），且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合．

（1）求实数， 的值；

（2）记函数，是否存在最小的正常数，使得当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．

Answer 1

【答案】(1) ， ;(2) 题目所要求的最小的正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立．

【解析】试题分析：（1）∵，则在点处切线方程为．

又，则在点处切线方程为．两直线重合所以得解（2）根据（1）知，则， ，即，即，构造函数，则问题就是求恒成立，进行求导研究单调性得在上是增函数，在上是减函数，而， ， ，

则函数在区间和上各有一个零点，设为和（），

从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， ，

当时， ；当时， ．还有是函数的极大值，也是最大值．题目要找的，理由如下;

试题解析：

（1）∵，则在点处切线方程为．

又，则在点处切线方程为．　

由解得， ．

（2）根据（1）知，则，

，即，即，

构造函数，则问题就是求恒成立，

，令，

则，显然是减函数，又，所以在上是增函数，

在上是减函数，

而，

， ，

则函数在区间和上各有一个零点，设为和（），

并且有在区间和上， ，即；

在区间上， ，即．

从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， ，

当时， ；当时， ．

还有是函数的极大值，也是最大值．题目要找的，理由：

当时，对于任意非零正数， ，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目要求的不等式恒成立；

当时，取，显然，题目要求的不等式不恒成立，说明不能比小；

综上可知，题目所要求的最小的正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立．