Question

【题目】A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为 ，服用B有效的概率为 ．
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】解：（1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2， Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依题意有：P（A1）=2× × = ，P（A2）= × = ．P（B0）= × = ，
P（B1）=2× × = ，所求概率为：
P=P（B0A1）+P（B0A2）+P（B1A2）
= × + × + × =
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3， ）．
P（ξ=0）=（ ）3= ，
P（ξ=1）=C31× ×（ ）2= ，
P（ξ=2）=C32×（ ）2× = ，
P（ξ=3）=（ ）3=
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P

∴数学期望Eξ=3× =
【解析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．
【考点精析】认真审题，首先需要了解离散型随机变量及其分布列(在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列)．