Question

a、b、c、m∈R⁺，a^m=b^m+c^m，若长为a、b、c三线段能构成三角形，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，由a^m=b^m+c^m变形可得（）^m+（）^m=1，由常数1联系同角三角函数的平方关系，可以设（）^m=sin²θ；（）^m=cos²θ，（0°＜θ＜90°），又由题意，可得b+c＞a，将b、c与a的关系代入可得，a•+a•＞a；进而整理变形可得，+＞1=sin²θ+cos²θ，结合幂函数的性质，分析可得答案．
解答：解：根据题意，由a^m=b^m+c^m，可得（）^m+（）^m=1，且a＞b，a＞c；
设（）^m=sin²θ；（）^m=cos²θ，（0°＜θ＜90°）
化简可得：b=a•，c=a•；
若长为a、b、c三线段能构成三角形，则b+c＞a，
即a•+a•＞a；
整理可得，+＞1=sin²θ+cos²θ，
由幂函数的性质分析可得，
当且仅当m＞1时，＞sin²θ与＞cos²θ同时成立，
即b+c＞a，
故m的取值范围为m＞1．
点评：本题考查三角函数的换元应用，注意从a^m=b^m+c^m变形可得（）^m+（）^m=1，由常数1联系同角三角函数的平方关系，是解题的突破口．