Question

a、b、c、m∈R⁺，a^m=b^m+c^m，若长为a、b、c三线段能构成三角形，求m的取值范围．

Answer 1

根据题意，由a^m=b^m+c^m，可得（

b

a

）^m+（

c

a

）^m=1，且a＞b，a＞c；
设（

b

a

）^m=sin²θ；（

c

a

）^m=cos²θ，（0°＜θ＜90°）
化简可得：b=a?

m	sin2θ

，c=a?

m	cos2θ

；
若长为a、b、c三线段能构成三角形，则b+c＞a，
即a?

m	sin2θ

+a?

m	cos2θ

＞a；
整理可得，

m	sin2θ

+

m	cos2θ

＞1=sin²θ+cos²θ，
由幂函数的性质分析可得，
当且仅当m＞1时，

m	sin2θ

＞sin²θ与

m	cos2θ

＞cos²θ同时成立，
即b+c＞a，
故m的取值范围为m＞1．