Question

a、b、c、m∈R⁺，a^m=b^m+c^m，若长为a、b、c三线段能构成三角形，求m的取值范围．

Answer 1

分析：根据题意，由a^m=b^m+c^m变形可得（

b

a

）^m+（

c

a

）^m=1，由常数1联系同角三角函数的平方关系，可以设（

b

a

）^m=sin²θ；（

c

a

）^m=cos²θ，（0°＜θ＜90°），又由题意，可得b+c＞a，将b、c与a的关系代入可得，a•

m	sin2θ

+a•

m	cos2θ

＞a；进而整理变形可得，

m	sin2θ

+

m	cos2θ

＞1=sin²θ+cos²θ，结合幂函数的性质，分析可得答案．

解答：解：根据题意，由a^m=b^m+c^m，可得（

b

a

）^m+（

c

a

）^m=1，且a＞b，a＞c；
设（

b

a

）^m=sin²θ；（

c

a

）^m=cos²θ，（0°＜θ＜90°）
化简可得：b=a•

m	sin2θ

，c=a•

m	cos2θ

；
若长为a、b、c三线段能构成三角形，则b+c＞a，
即a•

m	sin2θ

+a•

m	cos2θ

＞a；
整理可得，

m	sin2θ

+

m	cos2θ

＞1=sin²θ+cos²θ，
由幂函数的性质分析可得，
当且仅当m＞1时，

m	sin2θ

＞sin²θ与

m	cos2θ

＞cos²θ同时成立，
即b+c＞a，
故m的取值范围为m＞1．

点评：本题考查三角函数的换元应用，注意从a^m=b^m+c^m变形可得（

b

a

）^m+（

c

a

）^m=1，由常数1联系同角三角函数的平方关系，是解题的突破口．