Question

设函数。
（1）当a=l时，求函数的极值；
（2）当a2时，讨论函数的单调性；
（3）若对任意a∈（2，3）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有成立，求
实数m的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ），无极大值。
（Ⅱ）当时，单调递减
当时，单调递减，在上单调递增。
（Ⅲ）。

试题分析：（Ⅰ）函数的定义域为
当时， 令
当时，；当时，
单调递减，在单调递增
，无极大值                      4分
（Ⅱ）
                       5分
当，即时，上是减函数
当，即时，令，得
令，得
当，时矛盾舍                        7分
综上，当时，单调递减
当时，单调递减，在上单调递增   8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，上单调递减
当时，有最大值，当时，有最小值
  10分
而经整理得    12分
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（3）涉及恒成立问题，转化成求函数的最值，这种思路是一般解法，往往要利用“分离参数法”。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。