题目内容

直线y=x与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（　　）
分析：根据直线y=x与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，可得（c，c）满足椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1，从而可建立方程，由此可求椭圆C的离心率．
解答：解：由题意，∵直线y=x与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点
∴（c，c）满足椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
∴
c2
a2
+
c2
b2
=1
∴a2c2+（a2-c2）c2=a2（a2-c2）
∴e4-3e2+1=0
∴e2=
3±
5
2

∵0＜e＜1
∴e=
5
-1
2

故选A
点评：本题重点考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是构建离心率方程，属于基础题．
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以抛物线y2=4
3
x的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C2与椭圆C1相似，且相似比为2，求椭圆C2的方程．
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C1上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线x2=
1
mn
y异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上．
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线Cb上，若存在求出函数f（b）=SABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．
（2003•北京）如图，已知椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r）（b＞r＞0
（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）设直线y=k1x与椭圆交于C（x1，y1），D（x2，y2）（y2＞0），直线y=k2x与椭圆次于G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）．求证：
k1x1x2
x1+x2
=
k1x3x4
x3+x4
；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证：|OP|=|OQ|
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）
已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（
15
，0），直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为（　　）
A、
x2
16
+y2=1
B、x2+
y2
16
=1
C、
x2
20
+
y2
5
=1
D、
x2
5
+
y2
20
=1
已知双曲线C的方程为x2-y2=4,椭圆E以双曲线C的顶点为焦点,且椭圆右顶点A到双曲线C的渐近线距离为3.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若直线y=x与椭圆E交于M、N两点(M点在第一象限),P、Q是椭圆上不同于M的相异两点,并且∠PMQ的平分线垂直于x轴.试求直线PQ的斜率.

已知双曲线C的方程为x2-y2=4.椭圆E以双曲线C的顶点为焦点,且其右顶点A到双曲线C的渐近线距离为.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若直线y=x与椭圆E交于M、N两点(M点在第一象限),P、Q是椭圆上不同于M的相异两点,点O为坐标原点,并且满足(+)·(-)=0.试求直线PQ的斜率.

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