题目内容
已知椭圆C:x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
(2)已知点P(m,n)(mn≠0)是椭圆C1上的任一点,若点Q是直线y=nx与抛物线x2=
1 |
mn |
(3)已知直线l:y=x+1,与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb,是否存在正方形ABCD,使得A,C在直线l上,B,D在曲线Cb上,若存在求出函数f(b)=SABCD的解析式及定义域,若不存在,请说明理由.
分析:(1)由题设条件知:PF1|+|PF2|=2a=4,所以椭圆C1:
+y2=1.设C2:
+
=1,由相似比为2可求出椭圆C2的方程.(2)由题设条件知
+n2=1,设点Q(x0,y0),由题设条件能推出4
-4
=
-
=
=
=1,
由此可知点Q在双曲线4x2-4y2=1上.
(3)椭圆C1:
+y2=1,相似比为b,则椭圆Cb的方程为:
+
=1.由题意:只需Cb上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可.设BD:y=-x+m,设BD中点为E(x0,y0),B(x1,y1),D(x2,y2)
?5x2-8mx+4m2-4b2=0,然后利用根与系数的关系进行求解.
x2 |
4 |
x2 | ||
|
y2 | ||
|
m2 |
4 |
x | 2 0 |
y | 2 0 |
4 |
m2 |
4n2 |
m2 |
4(1-n2) |
m2 |
4•
| ||
m2 |
由此可知点Q在双曲线4x2-4y2=1上.
(3)椭圆C1:
x2 |
4 |
x2 |
4b2 |
y2 |
b2 |
|
解答:解:(1)椭圆的一个焦点为F1(
,0),|PF1|+|PF2|=2a=4,所以椭圆C1:
+y2=1
设C2:
+
=1,相似比为2,a2=4;b2=2,所以椭圆C2:
+
=1
(2)点P(m,n)在椭圆上,则
+n2=1,设点Q(x0,y0)
?
(7分)4
-4
=
-
=
=
=1,
所以点Q在双曲线4x2-4y2=1上
(3)椭圆C1:
+y2=1,相似比为b,则椭圆Cb的方程为:
+
=1(11分)
由题意:只需Cb上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可
设BD:y=-x+m,设BD中点为E(x0,y0),B(x1,y1),D(x2,y2)
?5x2-8mx+4m2-4b2=0,
△=64m2-16×5×(m2-b2)>0?5b2>m2(13分)
由韦达定理知:x0=
,y0=-x0+m=
m,
E(x0,y0)在直线y=x+1上,
则
=
+1?m=-
,所以b2>
?b>
(15分)
此时正方形的边长为
,所以正方形的面积为f(b)=(
)2|BD|=
|x1-x2|=
=
所以f(b)=
b2-
(b>
)
3 |
x2 |
4 |
设C2:
x2 | ||
|
y2 | ||
|
x2 |
16 |
y2 |
4 |
(2)点P(m,n)在椭圆上,则
m2 |
4 |
|
|
x | 2 0 |
y | 2 0 |
4 |
m2 |
4n2 |
m2 |
4(1-n2) |
m2 |
4•
| ||
m2 |
所以点Q在双曲线4x2-4y2=1上
(3)椭圆C1:
x2 |
4 |
x2 |
4b2 |
y2 |
b2 |
由题意:只需Cb上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可
设BD:y=-x+m,设BD中点为E(x0,y0),B(x1,y1),D(x2,y2)
|
△=64m2-16×5×(m2-b2)>0?5b2>m2(13分)
由韦达定理知:x0=
4m |
5 |
1 |
5 |
E(x0,y0)在直线y=x+1上,
则
m |
5 |
4m |
5 |
5 |
3 |
9 |
5 |
3
| ||
5 |
此时正方形的边长为
|BD| | ||
|
|BD| | ||
|
1+k2 |
1+k2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
4
| ||
5 |
5b2-
|
所以f(b)=
16 |
5 |
16 |
9 |
3
| ||
5 |
点评:本题综合考查椭圆的性质及其综合应用,难度较大,解题时要认真审题,仔细解答,避免出现不必要的错误.
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