题目内容

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点和上顶点分别为F1、F2、B,我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形,则称这两个椭圆为“相似椭圆”,且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比.已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
以抛物线y2=4
3
x
的焦点为一个焦点,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4.(1)若椭圆C2与椭圆C1相似,且相似比为2,求椭圆C2的方程.
(2)已知点P(m,n)(mn≠0)是椭圆C1上的任一点,若点Q是直线y=nx与抛物线x2=
1
mn
y
异于原点的交点,证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上.
(3)已知直线l:y=x+1,与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb,是否存在正方形ABCD,使得A,C在直线l上,B,D在曲线Cb上,若存在求出函数f(b)=SABCD的解析式及定义域,若不存在,请说明理由.
分析:(1)由题设条件知:PF1|+|PF2|=2a=4,所以椭圆C1
x2
4
+y2=1
.设C2
x2
a
2
2
+
y2
b
2
2
=1
,由相似比为2可求出椭圆C2的方程.(2)由题设条件知
m2
4
+n2=1
,设点Q(x0,y0),由题设条件能推出4
x
2
0
-4
y
2
0
=
4
m2
-
4n2
m2
=
4(1-n2)
m2
=
4•
m2
4
m2
=1

由此可知点Q在双曲线4x2-4y2=1上.
(3)椭圆C1
x2
4
+y2=1
,相似比为b,则椭圆Cb的方程为:
x2
4b2
+
y2
b2
=1
.由题意:只需Cb上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可.设BD:y=-x+m,设BD中点为E(x0,y0),B(x1,y1),D(x2,y2
y=-x+m
x2-4y2=4b2
?5x2-8mx+4m2-4b2=0
,然后利用根与系数的关系进行求解.
解答:解:(1)椭圆的一个焦点为F1(
3
,0)
,|PF1|+|PF2|=2a=4,所以椭圆C1
x2
4
+y2=1

设C2
x2
a
2
2
+
y2
b
2
2
=1
,相似比为2,a2=4;b2=2,所以椭圆C2
x2
16
+
y2
4
=1

(2)点P(m,n)在椭圆上,则
m2
4
+n2=1
,设点Q(x0,y0
y0=nx0
x
2
0
=
1
mn
y0
?
x0=
1
m
y0=
n
m
(7分)4
x
2
0
-4
y
2
0
=
4
m2
-
4n2
m2
=
4(1-n2)
m2
=
4•
m2
4
m2
=1

所以点Q在双曲线4x2-4y2=1上
(3)椭圆C1
x2
4
+y2=1
,相似比为b,则椭圆Cb的方程为:
x2
4b2
+
y2
b2
=1
(11分)
由题意:只需Cb上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可
设BD:y=-x+m,设BD中点为E(x0,y0),B(x1,y1),D(x2,y2
y=-x+m
x2-4y2=4b2
?5x2-8mx+4m2-4b2=0

△=64m2-16×5×(m2-b2)>0?5b2>m2(13分)
由韦达定理知:x0=
4m
5
y0=-x0+m=
1
5
m

E(x0,y0)在直线y=x+1上,
m
5
=
4m
5
+1
?m=-
5
3
,所以b2
9
5
?b>
3
5
5
(15分)
此时正方形的边长为
|BD|
2
,所以正方形的面积为f(b)=(
|BD|
2
)2
|BD|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
2
5
5b2-
25
9

所以f(b)=
16
5
b2-
16
9
(b>
3
5
5
)
点评:本题综合考查椭圆的性质及其综合应用,难度较大,解题时要认真审题,仔细解答,避免出现不必要的错误.
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