题目内容
（2003•北京）如图，已知椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r）（b＞r＞0（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）设直线y=k1x与椭圆交于C（x1，y1），D（x2，y2）（y2＞0），直线y=k2x与椭圆次于G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）．求证：
| k1x1x2 |
| x1+x2 |
| k1x3x4 |
| x3+x4 |
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证：|OP|=|OQ|
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）
分析：（Ⅰ）根据椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r），即可得椭圆方程，从而可得焦点坐标与离心率；
（Ⅱ）将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，利用韦达定理，可得
=
；将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程
+
=1，同理可得
=
，由此可得结论；
（Ⅲ）设点P（p，0），点Q（q，0），由C、P、H共线，得p=
；由D、Q、G共线，可得
q=
，由此可得结论．
（Ⅱ）将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，利用韦达定理，可得
| x1x2 |
| x1+x2 |
| r2-b2 |
| 2k1r |
| x2 |
| a2 |
| (y-r)2 |
| b2 |
| x3x4 |
| x3+x4 |
| r2-b2 |
| 2k2r |
（Ⅲ）设点P（p，0），点Q（q，0），由C、P、H共线，得p=
| (k1-k2)x1x4 |
| k1x1-k2x4 |
q=
| (k1-k2)x2x3 |
| k1x2-k2x3 |
解答：
（Ⅰ）解：∵椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r），
∴椭圆方程为
+
=1
焦点坐标为F1(-
，r)，F2(
，r)
离心率e=
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程
+
=1，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2
整理得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
根据韦达定理，得x1+x2=
，x1x2=
，
所以
=
①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程
+
=1，同理可得
=
②
由 ①、②得
=
=
所以结论成立
（Ⅲ）证明：设点P（p，0），点Q（q，0）
由C、P、H共线，得
=
解得 p=
由D、Q、G共线，同理可得
=
∴q=
由
=
变形得-
=
所以|p|=|q|
即|OP|=|OQ|
（Ⅰ）解：∵椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r），∴椭圆方程为
| x2 |
| a2 |
| (y-r)2 |
| b2 |
焦点坐标为F1(-
| a2-b2 |
| a2-b2 |
离心率e=
| ||
| a |
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程
| x2 |
| a2 |
| (y-r)2 |
| b2 |
整理得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
根据韦达定理，得x1+x2=
| 2k1a2r |
| b2+a2k12 |
| a2r2-a2b2 |
| b2+a2k12 |
所以
| x1x2 |
| x1+x2 |
| r2-b2 |
| 2k1r |
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程
| x2 |
| a2 |
| (y-r)2 |
| b2 |
| x3x4 |
| x3+x4 |
| r2-b2 |
| 2k2r |
由 ①、②得
| k1x1x2 |
| x1+x2 |
| r2-b2 |
| 2r |
| k2x3x4 |
| x3+x4 |
所以结论成立
（Ⅲ）证明：设点P（p，0），点Q（q，0）
由C、P、H共线，得
| x1-p |
| x4-p |
| k1x1 |
| k2x4 |
解得 p=
| (k1-k2)x1x4 |
| k1x1-k2x4 |
由D、Q、G共线，同理可得
| x2-p |
| x3-p |
| k1x2 |
| k2x3 |
∴q=
| (k1-k2)x2x3 |
| k1x2-k2x3 |
由
| k1x1x2 |
| x1+x2 |
| k2x3x4 |
| x3+x4 |
| (k1-k2)x1x4 |
| k1x1-k2x4 |
| (k1-k2)x2x3 |
| k1x2-k2x3 |
所以|p|=|q|
即|OP|=|OQ|
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查不等式的证明，认真审题，细心计算是关键．
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