Question

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由得（b²+a²k²）x²-a²b²=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF₂N为平行四边形，所以AF₂⊥BF₂，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）
结合a²=b²+c²，解得a²=12，b²=3．（3分）
所以，椭圆的方程为．（4分）
（Ⅱ）由得（b²+a²k²）x²-a²b²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
所以，（6分）
依题意，OM⊥ON，
易知，四边形OMF₂N为平行四边形，
所以AF₂⊥BF₂，（7分）
因为，，
所以．（8分）
即，（9分）
将其整理为．（10分）
因为，所以，12≤a²＜18．（11分）
所以，即．（13分）
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．