Question

函数y=sin²x+2asinx-a-2 （a∈R）的最小值为-3，求a的值．（提示：sinx∈[-1，1]）

Answer 1

分析：先设t=sinx把原函数转化为关于t的二次函数，讨论对称轴和区间的三种位置关系分别求出其最小值，再与已知条件相结合即可求a的值．

解答：解：设t=sinx，则f（t）=t²+2at-a-2=（t+a）²-a²-a-2，（-1≤t≤1）
（1）当-1≤-1≤1，即-1≤a≤1时，y_min=-a²-a-2=-3，
即a²+a-1=0，解得：a=

5 -1

2

（2）当-a＜-1，即a＞1时，f（t）在[-1，1]上单调递增，y_min=f（-1）=-3a-1=-3，解得：a=

2

3

（舍去）
（3）当-a＞1，即a＜-1时，f（t）在[-1，1]上单调递减，y_min=f（1）=a-1=-3，解得：a=-2，
综上所述，a=

5 -1

2

或a=-2．

点评：本题主要考查三角函数的最值以及二次函数在闭区间上的最值求法．找二次函数在闭区间上的最值时，一定要讨论对称轴和区间的三种位置关系．