Question

【题目】已知.

（1）试求在上的最大值；

（2）已知在处的切线与轴平行，若存在，，使得，证明：.

Answer 1

【答案】（1）当时；当时；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先求导数，然后对分类讨论，判断单调性，求解即可.

（2）由题意可知，，则，从而确定单调性，再根据的正负，确定其函数的大致图像，从而确定有，要证，只需证，只需证明，只需证，构造函数，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，即可.

（1），

当时，则对任意恒成立，即恒成立.

所以在单调递增.

则的最大值为；

当时，令，即

当，即时，

当时，在上单调递增.

当时，在上单调递减，.

当即时，对任意恒成立，

即恒成立，所以在单调递增.

则的最大值为；

综上所述：当时；

当时.

（2）因为在处的切线与轴平行，

所以，则，即.

当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减.

又因为时有；时有，

根据图象可知，若，则有；

要证，只需证；

又因为，所以；

因为在上单调递减，从而只需证明，

只需证

只需证

设，则.

由的单调性可知，.

则，即.

所以，即在上单调递增.

所以.

从而不等式得证.