Question

在数列|a_n|中，a₁=t-1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a_n+1（a_n+tⁿ-1）=a_n（tⁿ⁺¹-1），（n∈N⁺）
（1）猜想出数列|a_n|的通项公式并用数学归纳法证明之；
（2）求证：a_n+1＞a_n，（n∈N⁺）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由原递推式得到，再写出前几项，从而猜想数列|a_n|的通项公式，进而利用数学归纳法证明．
（2）利用（1）的结论，作差进行比较，故可得证．
解答：解：（1）由原递推式得到，，=
猜想得到…（3分）
下面用数学归纳法证明
1当n=1时   a₁=t-1   满足条件
2假设当n=k时，
则，∴，∴
即当n=k+1时，原命题也成立．
由1、2知…（7分）
（2）==
而ntⁿ-（t^n-1+t^n-2+…+t+1）=（tⁿ-t^n-1）+（tⁿ-t^n-2）+…+（tⁿ-t）+（tⁿ-1）=t^n-1（t-1）+t^n-2（t²-1）+t^n-3（t³-1）+…+t（t^n-1-1）+（tⁿ-1）=
故t＞0，且t≠1时有a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n…（13分）
点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．