Question

如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=

1

2

CD，M是线段AE上的动点．
（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF．
证明如下：
连结CE，交DF于N，连结MN，
由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，
由于MN?平面DMF，又AC不包含于平面DMF，
∴AC∥平面DMF．（4分）
（Ⅱ）方法一：过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，
∵AC∥平面DMF，∴AC∥l，
过点M作MG⊥AD于G，
∵平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，
∴DE⊥平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD，
∴MG⊥平面ABCD，
过G作GH⊥l于H，连结MH，则直线l⊥平面MGH，∴l⊥MH，
∴∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角．（8分）
设AB=2，则DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1×

2

5

=

2

5

，MG=

1

2

DE=1，则MH=

( 2 5 )2+12

=

3

5

，（11分）
∴cos∠MHG=

GH

MH

=

2

5

÷

3

5

=

2

3

，
∴所求二面角的余弦值为

2

3

．（12分）
方法二：∵平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，
∴DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE两两垂直，
分别以

DA

，

DC

，

DE

的方向为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz．
设AB=2，则M（1，0，1），F（0，4，2），

DM

=(1，0，1)，

DF

=(0，4，2)，
设平面MDF的法向量n₁=（x，y，z），
则

n1• DM =0 n1• DF =0

，∴

x+z=0 4y+2z=0

，
令y=1，得平面MDF的一个法向量

n

=（2，1，-2），（8分）
取平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），（9分）
由cos＜

n

，

m

＞=

-2

4+1+4 ×1

=-

2

3

，（11分）
∴平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为

2

3

．（12分）