Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）
（1）求直线l的方程；
（2）求函数g（x）的解析式．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求出g（x）的导数，由切点可得切线的斜率，再由切点在曲线g（x）上，即可解得m，n，则有函数g（x）的解析式．

解答： 解：（1）f（x）=lnx的导数f′（x）=

1

x

，
由切点（1，0）得切线的斜率为1，
则直线l的方程为：y=x-1；
（2）g（x）=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n的导数g′（x）=x²+x+m，
由于直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0），
则f′（1）=g′（1），即1=2+m，即得m=-1，
又g（1）=0，即

1

3

+

1

2

-1+n=0，即有n=

1

6

．
则g（x）=

1

3

x3+

1

2

x2-x+

1

6

．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查直线方程的形式，以及运算能力，属于基础题．