Question

【题目】已知，，，，，，记动点的轨迹为.

(1)求曲线的轨迹方程.

(2)若斜率为的直线与曲线交于不同的两点、，与轴相交于点，则是否为定值？若为定值，则求出该定值；若不为定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】分析：(1)根据向量几何意义得点为线段的垂直平分线与直线的交点，即得 ，再根据椭圆定义得曲线的轨迹方程. (2) 设，，，化简得，再联立侄媳妇与椭圆方程，利用韦达定理代入化简即得定值.

详解：

（1）由可知，为线段的中点.由可知，点在直线上. 由可知，.所以点为线段的垂直平分线与直线的交点，所以，所以，所以动点的轨迹为以、为焦点，长轴长为的椭圆，即，，所以.所以曲线的轨迹方程为.

（2）设，，，则直线的方程为，将代入得.

∴ ，所以.

则，.

所以

故是定值3.