Question

【题目】已知抛物线的焦点与椭圆：的一个顶点重合，且这个顶点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆的上顶点为，过作斜率为的直线交椭圆于另一点，线段的中点为，为坐标原点，连接并延长交椭圆于点，的面积为，求的值.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：（1）根据抛物线的性质可得椭圆中的，再根据三角形的面积求出，根据，即可求出椭圆方程，
（Ⅱ）过点的直线方程为，代入到由得，可求出点的坐标，再求出的坐标和的坐标，以及|和点到直线的距离，根据三角形的面积求出的值．

详解：

（1）因为抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，∴，

又椭圆的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为，

∴，

∴

故椭圆的方程是.

（2）由题意设直线的方程为，设点

由得

解得

∴，

∴

直线斜率，直线的方程为，

由得

点到直线：的距离为

∵，∴，又，

∴

令，则，解得

，∴，解得或（舍）

∴的值为.