题目内容
已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
【答案】分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．
解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2-12x+6，所以f′（2）=6
∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8；
（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）
令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a
当a＞1时，
比较f（0）=0和f（a）=a2（3-a）的大小可得g（a）=
；
当a＜-1时，
∴g（a）=3a-1
∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=
．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．
解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2-12x+6，所以f′（2）=6
∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8；
（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）
令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a
当a＞1时，
| x | （0，1） | 1 | （1，a） | a | （a，2a） | 2a | |
| f′（x） | + | - | + | ||||
| f（x） | 单调递增 | 极大值3a-1 | 单调递减 | 极小值 a2（3-a） | 单调递增 | 4a3 |
；当a＜-1时，
| X | （0，1） | 1 | （1，-2a） | -2a | |
| f′x） | - | + | |||
| f（x） | 单调递减 | 极小值3a-1 | 单调递增 | -28a3-24a2 |
∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=
．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
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