题目内容

若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．

a $\text{[math]}$
分析：由基本不等式可得，x+y+3=xy≤ $\text{[math]}$ ，从而可求x+y的范围，然后由（x+y）²-a（x+y）+1≥0得a $\text{[math]}$ 恒成立，则只要a≤ $\text{[math]}$ 即可
解答：∵x＞0，y＞0
∴x+y+3=xy≤ $\text{[math]}$
∴x+y≥6
由（x+y）²-a（x+y）+1≥0可得a $\text{[math]}$ 恒成立
令x+y=t，f（t）=t+ $\text{[math]}$ 在[6，+∞）上单调递增，则当t=6时f（t）_min=f（6）= $\text{[math]}$
∴a≤ $\text{[math]}$
故答案为：a≤ $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了函数的恒成立问题与最值问题的相互转化，解题的关键是基本不等式及函数单调性的应用