Question

（2013•徐州一模）若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是

a≤

37

6

．

Answer 1

分析：由基本不等式可得，x+y+3=xy≤(

x+y

2

)2，从而可求x+y的范围，然后由（x+y）²-a（x+y）+1≥0得a≤x+y+

6

x+y

恒成立，则只要a≤[(x+y)+

6

x+y

]min即可

解答：解：∵x＞0，y＞0
∴x+y+3=xy≤(

x+y

2

)2
∴x+y≥6
由（x+y）²-a（x+y）+1≥0可得a≤x+y+

1

x+y

恒成立
令x+y=t，f（t）=t+

1

t

在[6，+∞）上单调递增，则当t=6时f（t）_min=f（6）=

37

6

∴a≤

37

6

故答案为：a≤

37

6

点评：本题主要考查了函数的恒成立问题与最值问题的相互转化，解题的关键是基本不等式及函数单调性的应用