Question

若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）²-a（x+y）-30≥0恒成立，则实数a的最大值是

1

．

Answer 1

分析：利用基本不等式可得x+y+3=xy≤(

x+y

2

)2，化为（x+y）²-4（x+y）-12≥0，解得x+y≥6，当且仅当x=y=3时取等号．令x+y=t≥6，则（x+y）²-a（x+y）-30≥0恒成立，（x＞0，y＞0）?t²-at-30≥0恒成立，t≥6?a≤(t-

30

t

)min，t≥6．令g（t）=t-

30

t

(t≥30)，再利用导数研究其单调性极值与最值即可．

解答：解：∵x＞0，y＞0，∴x+y+3=xy≤(

x+y

2

)2，化为（x+y）²-4（x+y）-12≥0，解得x+y≥6，当且仅当x=y=3时取等号．
令x+y=t≥6，则（x+y）²-a（x+y）-30≥0恒成立，（x＞0，y＞0）?t²-at-30≥0恒成立，t≥6?a≤(t-

30

t

)min，t≥6．
令g（t）=t-

30

t

(t≥6)，则g′(t)=1+

30

t2

＞0在t≥6上恒成立，
∴g（t）在t∈[6，+∞）上单调递增．
∴g(t)min=g(6)=6-

30

5

=1．
故答案为1．

点评：本题综合考查了基本不等式、一元二次不等式的解法、利用导数研究函数的单调性、恒成立问题通过分离参数等价转化等基础知识与基本技能方法，属于难题．