Question

已知等比数列{a_n}的公比为q，前n项的和为S_n，且S₃，S₉，S₆成等差数列．
（1）求q³的值；
（2）求证：a₂，a₈，a₅成等差数列．

Answer 1

分析：（1）由S₃，S₉，S₆成等差数列，得S₃+S₆=2S₉，然后考虑当q=1时关系式不成立，所以当q不等于1时，利用等比数列的前n项和的公式化简此等式，根据q不等于1，利用换元法即可求出q³的值；
（2）由q³的值分别表示出a₈和a₅，然后分别求出a₈-a₂和a₅-a₈的值，得到两者的值相等即可得证．

解答：解：（1）由S₃，S₉，S₆成等差数列，得S₃+S₆=2S₉，
若q=1，则S₃+S₆=9a₁，2S₉=18a₁，
由a₁≠0得S₃+S₆≠2S₉，与题意不符，所以q≠1．
由S₃+S₆=2S₉，得

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=

2a1(1-q9)

1-q

．
整理，得q³+q⁶=2q⁹，由q≠0，1，
设t=q³，则2t²-t-1=0，解得t=1（舍去）或t=-

1

2

，
所以q3=-

1

2

；
（2）由（1）知：a8=a2×q6=

1

4

a2，a5=a2×q3=-

1

2

a2
则a₈-a₂=a₅-a₈，
所以a₂，a₈，a₅成等差数列．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．