题目内容
（2010•陕西一模）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{
}的前n项和为Sn，证明：Sn＜6．
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{
| an | bn |
分析：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，然后根据条件建立方程组，解之即可求出d与q，从而求出{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）根据数列{
}的通项公式的形式可知利用错位相消法进行求和即可求出Sn=6-
，可证得结论．
（Ⅱ）根据数列{
| an |
| bn |
| 2n+3 |
| 2n-1 |
解答：解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，--------（1分）
则依题意有q＞0且
解得d=2，q=2．-------（4分）
所以an=1+（n-1）d=2n-1，bn=qn-1=2n-1．-----------（6分）
（Ⅱ）
=
．
Sn=1+
+
+…+
+
，①
2Sn=2+3+
+…+
+
，②
由②-①得：Sn=2+2+
+
+…+
-
=2+2×(1+
+
+…+
)-
=2+2×
-
=6-
．-----------（10分）
∵
＞0，
∴Sn＜6．-----------（12分）
则依题意有q＞0且
|
所以an=1+（n-1）d=2n-1，bn=qn-1=2n-1．-----------（6分）
（Ⅱ）
| an |
| bn |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
Sn=1+
| 3 |
| 21 |
| 5 |
| 22 |
| 2n-3 |
| 2n-2 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
2Sn=2+3+
| 5 |
| 2 |
| 2n-3 |
| 2n-3 |
| 2n-1 |
| 2n-2 |
由②-①得：Sn=2+2+
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 2 |
| 2n-2 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
=2+2×(1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 2n-2 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
=2+2×
1-
| ||
1-
|
| 2n-1 |
| 2n-1 |
=6-
| 2n+3 |
| 2n-1 |
∵
| 2n+3 |
| 2n-1 |
∴Sn＜6．-----------（12分）
点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及利用错位相消法求数列的和，同时考查了不等式的证明，属于中档题．
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