题目内容
【题目】如图，
，
分别是通过某城市开发区中心O的两条东西和南北走向的街道，连接M，N两地间的铁路是圆心在上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且
，点N到，的距离分别为5km和4km．
（1）建立适当的坐标系，求铁路路线所在圆弧的方程．
（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路上任意一点到校址的距离不能小于
km，求该校址距点O的最近距离．
【答案】（1）
；（2）校址选在距离O为5km的地方最近
【解析】
(1)由已知得以
，
为x轴、y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，得出M，N的坐标，铁路路线所在圆弧所在的圆的圆心既在x轴上，又在直线MN的垂直平分线上，由此可求出圆心的坐标，再利用两点的距离求出半径，从而得出铁路路线所在圆弧的方程.
(2)设出校址的坐标，根据两点的距离公式列出不等式，再利用(1)小问中求出的圆弧的方程代换掉不等式中的y,得出关于x的不等式，再将所得的不等式设成关于x的一次函数，利用一次函数的单调性列出关于a的不等式，得解.
（1）如图，分别以，为x轴、y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．则
，
，故
，MN的中点为
．
线段MN的垂直平分线方程为
．
由于圆心既在线段MN的垂直平分线方程上，又在x轴上，
所以令直线方程中的
，得
．
故圆心
，
．圆A的方程为
．弧MN的方程为
（2）设校址选在
，则
对
恒成立．整理，得
对恒成立．令
．
，
．
函数
在区间
上为减函数．
，即
，解得
，即校址选在距离O为5km的地方最近．
故得解.
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