Question

【题目】已知以为焦点的抛物线过点，直线与交于，两点，为中点，且.

（1）当时，求点的坐标；

（2）当时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）将代入抛物线方程，求得的值，根据向量的坐标运算，即可求得的值；

（2）方法一：根据向量的坐标运算，求得的纵坐标，利用抛物线的“点差法”求得直线的斜率，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线的方程；

方法二：设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，中点坐标公式，及向量的坐标运算，即可求得直线的方程．

解：（1）将代入抛物线方程，得，

所以的方程为，焦点，

设，，当时，，可得．

（2）方法一：设，，，，，，

由．可得，，，所以，

所以直线的斜率存在且斜率，

设直线的方程为，联立，消去，

整理得，

△，可得，

则，，，

所以，

解得，（舍，

所以直线的方程为．

方法二：设直线的方程为，

设，，，，，，

联立方程组，消去，

整理得，△，

则，，

则，

则，，由．

得，，，所以，

所以直线的方程为，

由△，可得，

由，得，

所以，

解得或，（舍去）

所以直线的方程为．