Question

【题目】设函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，讨论的零点个数.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ) 求出，分三种情况讨论，分别令 得增区间， 得减区间；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知在上递增， 上递减， 上递增，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理，可判定函数在， ， 上各有一个零点，即可得结果.

试题解析：(Ⅰ) .

①当时， ，当时， ，

当时， .当时， .∴在递增

②当时，令，得，此时.

易知在递增， 递减， 递增

③当时， .易知在递增， 递减， 递增

(Ⅱ)当时，由(Ⅰ)知在上递增， 上递减， 上递增，

且，将代入，

得

∵，∴.

下面证明 当时存在，使.

首先，由不等式，∴，∴，∴.

考虑到，

∴

.

再令，可解出一个根为，

∵，∴，∴，就取.

则有.由零点存在定理及函数在上的单调性，可知在上有唯一的一个零点.

由，及的单调性，可知在上有唯一零点.

下面证明在上，存在，使，就取，则，

∴，

由不等式，则，即.

根据零点存在定理及函数单调性知在上有一个零点.

综上可知， 当时，共有3个零点.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、以及零点存在性定理，属于难题．利用导数研究函数的单调性的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间.