Question

设a∈R，二次函数f（x）=ax²-2x-2a．若f（x）＞0的解集为A，B={x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：解：注意到△=4+8a²＞0，则函数有两个零点，由a的正负，确定不等式解集的形式．结合着数轴分类讨论．

解答：解：由题意可知二次函数a≠0，
令f（x）=0解得其两根为x1=

1

a

-

2+ 1 a2

，x2=

1

a

+

2+ 1 a2

由此可知x₁＜0，x₂＞0
（i）当a＞0时，A={x|x＜x₁}∪{x|x＞x₂}，则A∩B≠?的充要条件是x₂＜3，
即

1

a

+

2+ 1 a2

＜3解得a＞

6

7

（ii）当a＜0时，A={x|x₁＜x＜x₂}A∩B≠?的充要条件是x₂＞1，
即

1

a

+

2+ 1 a2

＞1
解得a＜-2
综上，使A∩B=?成立的a的取值范围为(-∞，-2)∪(

6

7

，+∞)

点评：在对集合的相关问题进行求解时，分类讨论时经常考查到的思想方法，另外对于一元二次不等式的解法也是一个基本的知识点，要熟练掌握．