Question

己知f（x）在（-1，1）上有定义，f（

1

2

）=-1，且满足x．，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f(

x+y

1-xy

)．
（I）判断为f（x）在（-1，1）上的奇偶性：
（II）对数列x₁=

1

2

，x_n+1=

2xn

1+xn2

，求f（x_n）
（111）求证：

1

f(x1)

+

1

fx2)

+…+

1

f(xn)

＞-

2n+5

n+2

．

Answer 1

分析：（I）利用赋值法，先求得f（0）=0，再令y=-x，即可得到f（x）为奇函数；
（II）先确定f（x₁）=f（

1

2

）=-1，利用x_n+1=

2xn

1+xn2

，根据f（x）+f（y）=f(

x+y

1-xy

)，可得{f（x_n）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而可求f（x_n）；
（III）证明

1

f(x1)

+

1

fx2)

+…+

1

f(xn)

＞-2，

2n+5

n+2

=＜-2，即可得到结论．

解答：（I）解：令x=y=0，则2f（0）=f（0），所以f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0
所以f（-x）=-f（x）
所以f（x）为奇函数；
（II）解：∵x₁=

1

2

，∴f（x₁）=f（

1

2

）=-1，
∵x_n+1=

2xn

1+xn2

，∴f（x_n+1）=f（

2xn

1+xn2

）=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n）
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2
∴{f（x_n）}是以-1为首项，2为公比的等比数列
∴f（x_n）=-2^n-1；
（III）证明：∵

1

f(x1)

+

1

fx2)

+…+

1

f(xn)

=-（1+

1

2

+…+

1

2n-1

）=-（2-

1

2n-1

）＞-2
而

2n+5

n+2

=-（2+

1

n+2

）＜-2
∴

1

f(x1)

+

1

fx2)

+…+

1

f(xn)

＞-

2n+5

n+2

．

点评：本题考查赋值法的运用，考查等比数列的证明，考查不等式的证明，确定数列为等比数列是关键．