题目内容

己知f（x）在（-1，1）上有定义，f（ $数学公式$ ）=-1，且满足x．，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）= $数学公式$ ．
（I）判断为f（x）在（-1，1）上的奇偶性：
（II）对数列x₁= $数学公式$ ，x_n+1= $数学公式$ ，求f（x_n）
（111）求证： $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ＞- $数学公式$ ．

（I）解：令x=y=0，则2f（0）=f（0），所以f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0
所以f（-x）=-f（x）
所以f（x）为奇函数；
（II）解：∵x₁= $\text{[math]}$ ，∴f（x₁）=f（ $\text{[math]}$ ）=-1，
∵x_n+1= $\text{[math]}$ ，∴f（x_n+1）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n）
∴ $\text{[math]}$ =2
∴{f（x_n）}是以-1为首项，2为公比的等比数列
∴f（x_n）=-2^n-1；
（III）证明：∵ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =-（1+ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）=-（2- $\text{[math]}$ ）＞-2
而 $\text{[math]}$ =-（2+ $\text{[math]}$ ）＜-2
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＞- $\text{[math]}$ ．
分析：（I）利用赋值法，先求得f（0）=0，再令y=-x，即可得到f（x）为奇函数；
（II）先确定f（x₁）=f（ $\text{[math]}$ ）=-1，利用x_n+1= $\text{[math]}$ ，根据f（x）+f（y）= $\text{[math]}$ ，可得{f（x_n）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而可求f（x_n）；
（III）证明 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＞-2， $\text{[math]}$ =＜-2，即可得到结论．
点评：本题考查赋值法的运用，考查等比数列的证明，考查不等式的证明，确定数列为等比数列是关键．