Question

己知f（x）=lnx-ax²-bx．
（1）若a=1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）当a=1，b=-1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（3）若f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，AB中点为C（x₀，0），求证：f'（x₀）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x²-bx，由f（x）在（0，+∞）上递增，知f′(x)=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤（

1

x

+2x）_min，由此能够求出b的取值范围．
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），故f′(x)=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

，由此能够证明函数f（x）只有一个零点．
（Ⅲ）由f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，知

lnx1=ax12+bx1 lnx2=ax22+bx2

，故ln

x1

x2

=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]，由此能够证明f'（x₀）＜0．

解答：（Ⅰ）解：依题意：f（x）=lnx+x²-bx，
∵f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′(x)=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（

1

x

+2x）_min，
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

，
当且仅当x=

2

2

时，取“=”号，
∴b≤2

2

，
∴b的取值范围为（-∞，2

2

]．…（4分）
（Ⅱ）证明：当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），
∴f′(x)=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

，
∵x＞0，∴0＜x＜1时，f′（x）＞0．
当x＞1时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1²+1=0，
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0，
∴函数f（x）只有一个零点．…（8分）
（Ⅲ）证明：∵f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，
∴

f(x1)=lnx1-ax12-bx1=0 f(x2)=lnx2-ax22-bx2=0

，
∴

lnx1=ax12+bx1 lnx2=ax22+bx2

，
两式相减，得
ln

x1

x2

=a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（x₁-x₂），
∴ln

x1

x2

=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]，
由f′(x)=

1

x

-2ax-b及2x₀=x₁+x₂，得
f′(x0)=

1

x0

-2ax0-b
=

2

x1+x2

-[a（x₁+x₂）+b]
=

2

x1+x2

-

1

x1-x2

ln

x1

x2

=

1

x1-x2

[

2(x1-x2)

x1+x2

-ln

x1

x2

]
=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

( x1 x2 +1)

-ln

x1

x2

]，
令t=

x1

x2

，∅（t）=

2t-2

t+1

-lnt，0＜t＜1，
∵∅′（t）=-

(t-1)2

t(t+1)2

＜0，
∴∅（t）在（0，1）上递减，∴∅（t）＞∅（1）=0，
∵x₁＜x₂，∴f'（x₀）＜0．

点评：本题考查实数取值范围的求法，函数只有一个零点的证明，不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数知识的综合运用．