Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N₊），
（1）求a₁，a₂，a₃并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）证明上述猜想．

Answer 1

分析：（1）在递推关系式中令n-1求出a2，令n=2求出a3．
（2）由（1）猜想an=

2

n+1

．用数学归纳法证明即可．

解答：解：（1）
a₁=1．
a2=

2a1

2+a1

=

2

2+1

=

2

3

．
a3=

2a2

2+a2

=

2× 2 3

2+ 2 3

=

1

2

（2）猜想an=

2

n+1

．
证明：当n=1时显然成立．
假设当n=k（k≥1）时成立，即ak=

2

k+1

则当n=k+1时，ak+1=

2ak

2+ak

=

2× 2 k+1

2+ 2 k+1

=

4

2k+4

=

2

(k+1)+1

所以an=

2

n+1

．

点评：本题考查归纳推理、数学归纳法的应用．考查计算、论证能力．