Question

【题目】已知．

（1）若函数的单调递减区间为，求函数的图像在点处的切线方程；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：⑴求出的导函数，令导函数小于得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入求出的值，得到函数的解析式，求出的导数在的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程

⑵求出不等式，分离出参数，构造函数，利用导数求出的最大值，令大于等于最大值，求出的范围；

解析：（1），由题意，知的解集是，

即方程的两根分别是．

将或代入方程，得，

∴， ，∴，

∴的图像在点处的切线斜率，

∴函数的图像在点处的切线方程为： ，即；

（2）∵恒成立，

即对一切恒成立，

整理可得对一切恒成立，

设，则，

令，得（舍），

当时， 单调递增；当时， 单调递减，

∴当时， 取得最大值，∴．

故实数的取值范围是．