Question

已知｛a_n｝是由非负整数组成的数列，满足a₁=0，a₂=3，a_n＋1a_n=（a_n－1＋2）（a_n－2＋2），n=3，4，5，…．

（Ⅰ）求a₃；

（Ⅱ）证明a_n=a_n－2＋2，n=3，4，5，…；

（Ⅲ）求｛a_n｝的通项公式及其前n项和S_n．

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：由题设得a3a4=10，且a3、a4均为非负整数，所以a3的可能的值为1，2，5，10． 若a3=1，则a4=10，a5=，与题设矛盾． 若a3=5，则a4=2，a5=，与题设矛盾． 若a3=10，则a4=1，a5=60，a6=，与题设矛盾. 所以a3=2. （Ⅱ）用数学归纳法证明： ①当n=3，a3=a1＋2，等式成立． ②假设当n=k（k≥3）时等式成立，即ak=ak－2＋2,由题设ak＋1ak=（ak－1＋2）·（ak－2＋2），因为ak=ak－2＋2≠0，所以ak＋1=ak－1＋2， 也就是说，当n=k＋1时，等式ak＋1=ak－1＋2成立． 根据①和②，对于所有n≥3，有an+1=an－1+2. （Ⅲ）解：由a2k－1=a2（k－1）－< span lang=EN-US style='mso-bidi-font-size: 10.5pt'>1＋2，a1=0，及a2k=a2（k－1）＋2，a2=3得a2k－1=2（k－1），a2k=2k＋1，k=1，2，3，…． 即an=n＋（－1）n，n=1，2，3，…. 所以Sn=