Question

（本小题满分12分）
设函数，曲线在点处的切线方程．
（1）求的解析式，并判断函数的图像是否为中心对称图形？若是，请求其对称中心；否则说明理由。
（2）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
(3) 将函数的图象向左平移一个单位后与抛物线（为非0常数）的图象有几个交点？(说明理由)

Answer 1

(1) 的图像是以点为中心的中心对称图形．
(2) 三角形的面积为定值
(3) 由三次函数的图象是连续的可知F(x)至少有一零点                           
当时在R上为减函数（减函数至多有一个零点），
所以此时F(x)有且只有一个零点；

试题分析：解：（1），                                      
曲线在点处的切线方程为y=3，
于是                解得或        
因，故．                                       
，满足,所以是奇函数     
所以，其图像是以原点(0,0)为中心的中心对称图形．                       
而函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，
故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．                        
（2）证明：在曲线上任取一点．  由知，     
过此点的切线方程为．               
令得，切线与直线交点为．                 
令得，切线与直线交点为．
直线与直线的交点为．                                  
从而所围三角形的面积为．  
所以，所围三角形的面积为定值．                                        
（3）将函数的图象向左平移一个单位后得到的函数为,
它与抛物线的交点个数等于方程=的解的个数          
法一：
即 (解的个数,(易知0不是其解，不产生增根)  
即 的零点（与x轴交点的横坐标）的个数    

由三次函数的图象是连续的可知F(x)至少有一零点                             11分

当时在R上为减函数（减函数至多有一个零点），
所以此时F(x)有且只有一个零点；
点评：解决的关键是能结合导数的几何意义表示切线方程，进而分析函数的零点个数，需要对于a分类讨论得到，属于中档题。