题目内容
△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，M是AB的中点．将△ACM沿CM折起，使A，B两点间的距离为 2
，此时三棱锥A-BCM的体积等于
．
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2
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分析：先在原图中作AD⊥MC交MC于点D，交BC于E点，将△ACM沿CM折起后，只要证明AE⊥底面BCM即可．
解答：
解：由已知得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=2
，
由△AMC为等边三角形，取CM中点，则AD⊥CM，AD交BC于E，则AD=
，DE=
，
CE=
．
折起后，由BC2=AC2+AB2，知∠BAC=90°，
又cos∠ECA=
．∴AE2=CA2+CE2-2CA•CEcos∠ECA=
，于是AC2=AE2+CE2．⇒∠AEC=90°．
∵AD2=AE2+ED2，⇒AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A-BCM的高，AE=
．
∴S△BCM=
，
VA-BCM=
．
故答案为
．
解：由已知得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=2| 3 |
由△AMC为等边三角形，取CM中点，则AD⊥CM，AD交BC于E，则AD=
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CE=
2
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折起后，由BC2=AC2+AB2，知∠BAC=90°，
又cos∠ECA=
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∵AD2=AE2+ED2，⇒AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A-BCM的高，AE=
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∴S△BCM=
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VA-BCM=
2
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故答案为
2
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点评：本题考查由平面图形折成空间图形求其体积，求此三棱锥的高是解决问题的关键．本题还可以直接过点A作AE⊥BC交BC于E点，连接ME，证明AE⊥ME，即可说明AE⊥底面BCM．
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