Question

6．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，其前n项和为S_n．若S₄=2S₂+1，则S₆的最小值为2$\sqrt{3}$+3．

Answer 1

分析 利用等比数列的前n项和公式可得：a₁（1+q）（q²-1）=1，则S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=q²-1+$\frac{3}{{q}^{2}-1}$+3，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵S₄=2S₂+1，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=2×$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$+1，
化为a₁（1+q）（q²-1）=1，
∵q＞1，
∴S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{1}{（1+q）（{q}^{2}-1）}$×（1+q+q²）（1+q）（1-q+q²）=q²-1+$\frac{3}{{q}^{2}-1}$+3≥$2\sqrt{3}$+3，当且仅当q²=1+$\sqrt{3}$，即q=$\sqrt{1+\sqrt{3}}$时取等号．
∴S₆的最小值为2$\sqrt{3}$+3．
故答案为：2$\sqrt{3}$+3．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．