Question

14．已知O为△ABC的外心，AB=2，AC=3，如果$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，其中x、y满足x+2y=1，则cos∠BAC=$\frac{3}{4}$或$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．利用垂经定理可得：AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}AC$．于是$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$，对于$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，两边分别作数量积可得：$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$x{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$y\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+y$•{\overrightarrow{AC}}^{2}$，又x+2y=1，联立解出即可．

解答 解：如图所示，
过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
则AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}AC$．
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=2，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{9}{2}$，
∵$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$x{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$y\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，化为2=4x+6ycos∠BAC，
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+y$•{\overrightarrow{AC}}^{2}$，化为$\frac{9}{2}$=6xcos∠BAC+9y，
又x+2y=1，
联立解得cos∠BAC=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{2}$，x=0．
y=$\frac{4}{7}$，x=-$\frac{1}{7}$，cos∠BAC=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$或$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了数量积的运算性质、垂经定理、三角形外心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．