Question

已知函数令.

（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（Ⅲ）若，正实数满足，证明：．

Answer 1

（Ⅰ）     

由得又所以．所以的单增区间为.                                                         

（Ⅱ）方法一：令

所以．

当时，因为，所以，所以在上是递增函数，

又因为所以关于的不等式不能恒成立．                         

当时，．

令得，所以当时，；当时，．

因此函数在是增函数，在是减函数．

故函数的最大值为               …………8分

令因为

又因为在上是减函数，所以当时，．

所以整数的最小值为．                                  ……………10分

方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立．

问题等价于在上恒成立．

令，只要．                  ……………………6分

因为令得．

设，因为，所以在上单调递减，

不妨设的根为．当时，当时，．

所以在上是增函数；在上是减函数．

所以．       

因为

所以此时所以即整数的最小值为2 

（Ⅲ）当时，

由即

从而              

令则由得，

可知在区间（0，1）上单调递减，在区间上单调递增。所以

所以即成立．