Question

已知m∈R，

a

=(-1，x2+m)，

b

=(m+1，

1

x

)，

c

=(-m，

x

x+m

)．
（Ⅰ）当m=-1时，求使不等式|

a

•

c

|＜1成立的x的取值范围；
（Ⅱ）求使不等式

a

•

b

＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将m=-1代入向量

a

，

c

，然后用向量的数量积运算表示出

a

•

c

整理成

a

•

c

=x²+x-1，然后解绝对值不等式|x²+x-1|＜1，即可得到答案．
（2）根据向量数量积的坐标运算先表示出

a

•

b

＞0，然后对m的不同取值进行分类讨论，即可得到x的范围．

解答：解：（Ⅰ）当m=-1时，

a

=(-1，x2-1)，

c

=(1，

x

x-1

).

a

•

c

=-1+

x(x2-1)

x-1

=x²+x-1．
∵|

a

•

c

|=|x2+x-1|＜1，
∴

x2+x-1＞-1 x2+x-1＜1.

解得-2＜x＜-1或0＜x＜1．
∴当m=-1时，使不等式|

a

•

c

|＜1成立的x的取值范围是{x|-2＜x＜-1或0＜x＜1}．
（Ⅱ）∵

a

•

b

=-(m+1)+

x2+m

x

=

x2-(m+1)x+m

x

=

(x-1)(x-m)

x

＞0，
∵

c

=(-m，

x

x+m

)，所以x≠-m
∴当m＜0时，x∈（m，0）∪（1，+∞）；
当m=0时，x∈（1，+∞）；
当0＜m＜1时，x∈（0，m）∪（1，+∞）；
当m=1时，x∈（0，1）∪（1，+∞）；
当m＞1时，x∈（0，1）∪（m，+∞）．

点评：本题主要考查向量的数量积运算、绝对值不等式的解法和分式不等式的解法．求解分式不等式时一般求其等价的整式不等式，切记莫忘分母不等于0这个先决条件．