Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n∈N^*时，an+1=(

1

n

+1)an．数列{a_n}的前n项和为S_n，则

lim

n→∞

S2n

Sn

=

 

．

Answer 1

分析：a₁=1，当n∈N^*时，an+1=(

1

n

+1)an，知a₂=2a₁=2，a3=

3

2

a2=3，a4=

4

3

a3=4，…，a_n=n，由此能求出

lim

n→∞

S2n

Sn

=

lim

n→∞

2n(2n+1) 2

n(n+1) 2

=4．

解答：解：∵a₁=1，当n∈N^*时，an+1=(

1

n

+1)an，
∴a₂=2a₁=2，
a3=

3

2

a2=3，
a4=

4

3

a3=4，
…
∴a_n=n，
∴S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
S2n=1+2+3+…+2n=

2n(2n+1)

2

，
∴

lim

n→∞

S2n

Sn

=

lim

n→∞

2n(2n+1) 2

n(n+1) 2

=4．
故答案为：4．

点评：本题考查数列的极限的应用，解题时要认真审题，注意等差数列的前n项和公式的灵活运用．