Question

已知函数f（x）＝lnx＋ax2－（a＋1）x（a∈R）.

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为－2，求实数a的值；

（3）若对?x1，x2∈（0，＋∞），x1＜x2，且f（x1）＋x1＜f（x2）＋x2恒成立，求实数a的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）a＝2；（3）0≤a≤4

【解析】试题分析：（1）先求导函数，找出切线斜率及切点坐标，可写出切线方程；（2）利用导函数，找到函数在[1，e]上的最小值点，讨论最小值等于－2的各种情况，求出a的值；（3）转化为函数g（x）＝f（x）＋x在（0，＋∞）上单调递增求解.

试题解析：（1）当a＝1时，. 1分

因为f '（1）＝0，. 1分

1分

所以切线方程为 1分

（2）函数的定义域是.

当a＞0时，

令f '（x）＝0，即，

所以x＝1或. 1分

①当，即a≥1时，f（x）在［1，e]上单调递增，

所以f（x）在［1，e]上的最小值是，解得； 1分

②当时，f（x）在［1，e]上的最小值是，即

令，， 1分

可得：，

而，，不合题意，舍去； 1分

③当时，f（x）在[1，e]上单调递减，

所以f（x）在［1，e]上的最小值是，

解得，不合题意，舍去. 1分

综上：a＝2. 1分

（3）设g（x）＝f（x）＋x，则，

只要g（x）在（0，＋∞）上单调递增即可. 1分

而

当a＝0时，，此时g（x）在（0，＋∞）上单调递增； 1分

当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，

因为x∈（0，＋∞），只要ax2－ax＋1≥0，

则需要a＞0， 1分

对于函数y＝ax2－ax＋1，过定点（0，1），对称轴，只需，

即0＜a≤4. 综上0≤a≤4. 1分

考点：导数的几何意义，函数的单调性，不等式恒成立问题