题目内容
已知数列{bn}，若存在正整数T，对一切n∈N*都有bn+r=bn，则称数列{bn}为周期数列，T是它的一个周期．例如：数列a，a，a，a，…①可看作周期为1的数列；
数列a，b，a，b，…②可看作周期为2的数列；
数列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期为3的数列…
（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是
，试再写出该数列的一个通项公式；（2）求数列③的前n项和Sn；
（3）在数列③中，若a=2，b=
，c=-1，且它有一个形如bn=Asin（ωn+φ）+B的通项公式，其中A、B、ω、φ均为实数，A＞0，ω＞0，|φ|＜
，求该数列的一个通项公式bn．
【答案】分析：（1）根据数列a，b，a，b，…可看作周期为2的数列，可写出数列的通项；
（2）数列a，b，c，a，b，c，…可看作周期为3的数列，故可分类得出结论；
（3）由题意，ω＞0，应有
，得ω=
，于是bn=Asin（
n+φ）+B，把b1=2，b2=
，b3=-1，代入上式，即可得出结论．
解答：解：（1）∵数列a，b，a，b，…可看作周期为2的数列；
∴an=
等．（3分）
（2）数列a，b，c，a，b，c，…可看作周期为3的数列，所以当n=3k+1时，
；（5分）
当n=3k+2时，
；（7分）
当n=3k+3时，
（k∈N）．（9分）
（3）由题意，ω＞0，应有
，得ω=
，（10分）
于是bn=Asin（
n+φ）+B，
把b1=2，b2=
，b3=-1，代入上式得
（12分）
由（1）（2）可得Acosφ=
，再代入（1）的展开式，可得-
φ+B=
，与（3）联立得B=
，（13分）
Asinφ=-
，于是tanφ=-
因为|φ|＜
，所以φ=-
，（14分）
于是可求得A=
．（15分）
故bn=
sin（
）+
（16分）
点评：本题考查数列与三角函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，有一定难度．
（2）数列a，b，c，a，b，c，…可看作周期为3的数列，故可分类得出结论；
（3）由题意，ω＞0，应有
，得ω=
，于是bn=Asin（
n+φ）+B，把b1=2，b2=
，b3=-1，代入上式，即可得出结论．解答：解：（1）∵数列a，b，a，b，…可看作周期为2的数列；
∴an=
等．（3分）（2）数列a，b，c，a，b，c，…可看作周期为3的数列，所以当n=3k+1时，
；（5分）当n=3k+2时，
；（7分）当n=3k+3时，
（k∈N）．（9分）（3）由题意，ω＞0，应有
，得ω=
，（10分）于是bn=Asin（
n+φ）+B，把b1=2，b2=
，b3=-1，代入上式得
（12分）由（1）（2）可得Acosφ=
，再代入（1）的展开式，可得-
φ+B=
，与（3）联立得B=
，（13分）Asinφ=-
，于是tanφ=-
因为|φ|＜
，所以φ=-
，（14分）于是可求得A=
．（15分）故bn=
sin（
）+
（16分）点评：本题考查数列与三角函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，有一定难度．
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，c=-1，且它有一个形如bn=Asin（ωn+φ）+B的通项公式，其中A、B、ω、φ均为实数，A＞0，ω＞0，|φ|＜
，求该数列的一个通项公式bn．