题目内容
已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x0称为函数f（x）的不动点；若a1∈D，an+1=f（an）（n∈N*），则称{an} 为由函数f（x）导出的数列．
设函数g（x）=
，h（x）=
(c≠0，ad-bc≠0，(d-a)2+4bc＞0)
（1）求函数g（x）的不动点x1，x2；
（2）设a1=3，{an} 是由函数g（x）导出的数列，对（1）中的两个不动点x1，x2（不妨设x1＜x2），数列求证{
}是等比数列，并求
an；
（3）试探究由函数h（x）导出的数列{bn}，（其中b1=p）为周期数列的充要条件．
注：已知数列{bn}，若存在正整数T，对一切n∈N*都有bn+T=bn，则称数列{bn} 为周期数列，T是它的一个周期．
设函数g（x）=
| 4x+2 |
| x+3 |
| ax+b |
| cx+d |
（1）求函数g（x）的不动点x1，x2；
（2）设a1=3，{an} 是由函数g（x）导出的数列，对（1）中的两个不动点x1，x2（不妨设x1＜x2），数列求证{
| an-x1 |
| an-x2 |
| lim |
| n→∞ |
（3）试探究由函数h（x）导出的数列{bn}，（其中b1=p）为周期数列的充要条件．
注：已知数列{bn}，若存在正整数T，对一切n∈N*都有bn+T=bn，则称数列{bn} 为周期数列，T是它的一个周期．
（1）
=x，即x2-x-2=0，得x1=-1，x2=2，
所以函数g（x）的不动点为x1=-1，x2=2．
（2）：a1=3，an+1=g（an）=
，设cn=
，
则cn+1=
=
=
=
cn，c1=
=4．
所以数列{
}是等比数列，公比为
，首项为4．
=4•(
)n-1得an=
．
an=
=
=2．
（3）：h（x）=
=x，即cx2+（d-a）x-b=0．
因为△=（d-a）2+4ac＞0，所以该方程有两个不相等的实数根x1，x2．
b1=p，bn+1=h（bn）=
，
=
=
•
，
则{
}是等比数列，首项为
，公比为
．
因为
=
（
）n-1，所以
=
（
）n+T-1．
数列{bn}为周期数列的充要条件是（
）n-1=（
）n+T-1，即（
）T=1．
故|
|=1，但x1≠x2，从而cx2+d=-cx1-d．x1+x2=-
=-
，
故d=-a．
| 4x+2 |
| x+3 |
所以函数g（x）的不动点为x1=-1，x2=2．
（2）：a1=3，an+1=g（an）=
| 4an+2 |
| an+3 |
| an+1 |
| an-2 |
则cn+1=
| an+1+1 |
| an+1-2 |
| 5an+5 |
| 2an-4 |
| 5 |
| 2 |
| an+1 |
| an-2 |
| 5 |
| 2 |
| a1+1 |
| a1-2 |
所以数列{
| an+1 |
| an-2 |
| 5 |
| 2 |
| an+1 |
| an-2 |
| 5 |
| 2 |
| 8•5n-1+2n-1 |
| 4•5n-1-2n-1 |
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
| 8•5n-1+2n-1 |
| 4•5n-1-2n-1 |
| lim |
| n→∞ |
8+(
| ||
4-(
|
（3）：h（x）=
| ax+b |
| cx+d |
因为△=（d-a）2+4ac＞0，所以该方程有两个不相等的实数根x1，x2．
b1=p，bn+1=h（bn）=
| abn+b |
| cbn+d |
| bn+1-x1 |
| bn+1-x2 |
| ||||
|
| cx2+d |
| cx1+d |
| bn-x1 |
| bn-x2 |
则{
| bn-x1 |
| bn-x2 |
| p-x1 |
| p-x2 |
| cx2+d |
| cx1+d |
因为
| bn-x1 |
| bn-x2 |
| p-x1 |
| p-x2 |
| cx2+d |
| cx1+d |
| bn+T-x1 |
| bn+T-x2 |
| p-x1 |
| p-x2 |
| cx2+d |
| cx1+d |
数列{bn}为周期数列的充要条件是（
| cx2+d |
| cx1+d |
| cx2+d |
| cx1+d |
| cx2+d |
| cx1+d |
故|
| cx2+d |
| cx1+d |
| 2d |
| c |
| d-a |
| c |
故d=-a．
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