Question

（2013•浙江模拟）如图，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F₂与抛物线y²=4x的焦点重合，过F₂作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且

|CD|

|ST|

=2

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），当|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

时，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点坐标，从而设出椭圆E的方程，解方程组

y2=4x x=1

得C（1，2），D（1，-2），根据抛物线、椭圆都关于x轴对称，建立关于参数b的方程

1

b2+1

+

1

2b2

=1，解得b²=1并推得a²=2．最后写出椭圆的方程．
（Ⅱ）由题意知直AB的斜率存在．AB：y=k（x-2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值取值范围，再结合向量的坐标运算利用点P在椭圆上，建立k与t的关系式，利用函数的单调性求出实数t取值范围，从而解决问题

解答：解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F₂（1，0）．
所以椭圆E的方程为：

x2

b2+1

+

y2

b2

=1．
解方程组

y2=4x x=1

得C（1，2），D（1，-2）．
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴

|F2C|

|F2S|

=

|CD|

|ST|

=2

2

，|F2S|=

2

2

，∴S(1，

2

2

)．
因此，

1

b2+1

+

1

2b2

=1，解得b²=1并推得a²=2．
故椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由题意知直AB的斜率存在．
AB：y=k（x-2），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
代入椭圆方程，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，k²＜

1

2

∴x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

，x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，
∵|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

，
∴

1+k2

|x 1-x 2|＜

2 5

3

，
∴（1+k²）[

(8k2) 2

(1+2k2) 2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，
∴k²＞

1

4

，
∴

1

4

＜k²＜

1

2

，
∵满足

OA

+

OB

=t

OP

，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴x=

x1+x2

t

=

8k 2

t(1+2k 2)

，y=

y1+y2

t

=

-4k

t(1+2k 2)

，
∵点P在椭圆上，
∴[

8k 2

t(1+2k 2)

] 2+2[

-4k

t(1+2k 2)

]  2=2
∴16k²=t²（1+2k²）
∴t²=

16k 2

1+2k 2

=8- 

8

1+2k 2

，由于

1

4

＜k²＜

1

2

，
∴-2＜t＜-

2 6

3

或

2 6

3

＜t＜2
∴实数t取值范围为：-2＜t＜-

2 6

3

或

2 6

3

＜t＜2．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．