Question

【题目】已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，解析式为f(x)＝.

(1)求f(x)在R上的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上为减函数．

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝ (2)见解析

【解析】试题分析：（1）分别求出当x＜0和x=0时的解析式，写成分段函数的形式；（2）设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，通过作差证明f(x1)＞f(x2)即可。

试题解析：(1)设x＜0，则－x＞0，

∴f(－x)＝.

又∵f(x)是R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)＝，

∴f(x)＝.

又∵奇函数在x=0时有意义，

∴f(0)＝0，

∴函数的解析式为f(x)＝

(2)证明：设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝

＝.

∵x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，

∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＞0，

∴f(x1)－f(x2)＞0，

∴f(x1)＞f(x2)，

∴函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．